Indholdsfortegnelse:

Hvad er fraktaler: skønheden ved matematik og uendelighed
Hvad er fraktaler: skønheden ved matematik og uendelighed

Video: Hvad er fraktaler: skønheden ved matematik og uendelighed

Video: Hvad er fraktaler: skønheden ved matematik og uendelighed
Video: Så meget tjener verdens bedste fodboldspillere! 2024, Marts
Anonim

Fraktaler har været kendt i et århundrede, er blevet godt undersøgt og har adskillige anvendelser i livet. Dette fænomen er imidlertid baseret på en meget simpel idé: et væld af former, uendelige i skønhed og variation, kan opnås fra relativt simple strukturer ved blot at bruge to operationer - kopiering og skalering.

Hvad har et træ, en kyst, en sky eller blodkar i vores hånd til fælles? Ved første øjekast kan det se ud til, at alle disse genstande ikke har noget til fælles. Men i virkeligheden er der en egenskab af struktur, der er iboende i alle de listede objekter: de er sig selv-lignende. Fra grenen, såvel som fra træets stamme, er der mindre grene, fra dem - endnu mindre osv., det vil sige, at grenen er som hele træet.

Kredsløbssystemet er arrangeret på en lignende måde: arterioler afgår fra arterierne, og fra dem - de mindste kapillærer, gennem hvilke ilt kommer ind i organer og væv. Lad os se på satellitbilleder af havkysten: vi vil se bugter og halvøer; lad os tage et kig på det, men fra et fugleperspektiv: vi vil se bugter og kapper; Lad os nu forestille os, at vi står på stranden og kigger på vores fødder: Der er altid småsten, der stikker længere ned i vandet end resten.

Det vil sige, at kystlinjen forbliver magen til sig selv, når den zoomes ind. Den amerikanske (skønt opvokset i Frankrig) matematiker Benoit Mandelbrot kaldte denne egenskab ved objekter fraktalitet, og sådanne genstande selv - fraktaler (fra latin fractus - brudt).

Fraktaler
Fraktaler

Hvad er en fraktal?

Dette begreb har ingen streng definition. Derfor er ordet "fraktal" ikke et matematisk udtryk. Typisk er en fraktal en geometrisk figur, der opfylder en eller flere af følgende egenskaber: • Den har en kompleks struktur ved enhver forstørrelse (i modsætning til f.eks. en ret linje, hvor enhver del er den enkleste geometriske figur - en linjestykke). • Er (omtrent) sig selv. • Har en fraktioneret Hausdorff (fraktal) dimension, som er større end den topologiske. • Kan bygges med rekursive procedurer.

Geometri og algebra

Studiet af fraktaler ved begyndelsen af det 19. og 20. århundrede var snarere episodisk end systematisk, fordi tidligere matematikere hovedsageligt studerede "gode" objekter, der var tilgængelige for forskning ved hjælp af generelle metoder og teorier. I 1872 konstruerer den tyske matematiker Karl Weierstrass et eksempel på en kontinuert funktion, der ingen steder kan differentieres. Imidlertid var dens konstruktion fuldstændig abstrakt og svær at opfatte.

Derfor opfandt svenskeren Helge von Koch i 1904 en gennemgående kurve, som ikke har nogen tangent nogen steder, og den er ganske enkel at tegne. Det viste sig, at det har egenskaberne som en fraktal. En af varianterne af denne kurve kaldes "Koch snefnug".

Idéerne om figurernes selvlighed blev opfanget af franskmanden Paul Pierre Levy, Benoit Mandelbrots fremtidige mentor. I 1938 udgav han sin artikel "Plane og rumlige kurver og overflader, bestående af dele svarende til helheden", som beskriver en anden fraktal - Lévy C-kurven. Alle disse ovennævnte fraktaler kan betinget tilskrives en klasse af konstruktive (geometriske) fraktaler.

Vegetation
Vegetation

En anden klasse er dynamiske (algebraiske) fraktaler, som inkluderer Mandelbrot-sættet. De første undersøgelser i denne retning begyndte i begyndelsen af det 20. århundrede og er forbundet med navnene på de franske matematikere Gaston Julia og Pierre Fatou. I 1918 udkom Julias næsten to hundrede sider lange erindringer, viet til iterationer af komplekse rationelle funktioner, hvori Julias mængder blev beskrevet - en hel familie af fraktaler, der er tæt beslægtet med Mandelbrot-sættet. Dette værk blev tildelt det franske akademis pris, men det indeholdt ikke en eneste illustration, så det var umuligt at værdsætte skønheden i de opdagede genstande.

På trods af at dette arbejde forherligede Julia blandt datidens matematikere, blev det hurtigt glemt. Det var først et halvt århundrede senere, at computere kom til opmærksomhed igen: det var dem, der gjorde fraktalernes rigdom og skønhed synlig.

Fraktale dimensioner

widget-interesse
widget-interesse

Som du ved, er dimensionen (antal målinger) af en geometrisk figur antallet af koordinater, der kræves for at bestemme positionen af et punkt, der ligger på denne figur.

For eksempel bestemmes positionen af et punkt på en kurve af én koordinat, på en overflade (ikke nødvendigvis et plan) af to koordinater, i tredimensionelt rum af tre koordinater.

Fra et mere generelt matematisk synspunkt kan du definere dimensionen på denne måde: en stigning i lineære dimensioner, f.eks. to gange, for endimensionelle (fra et topologisk synspunkt) objekter (segment) fører til en stigning i størrelse (længde) to gange, for todimensionelle (kvadratiske) fører den samme stigning i lineære dimensioner til en stigning i størrelse (areal) med 4 gange, for tredimensionel (terning) - med 8 gange. Det vil sige, at den "virkelige" (såkaldte Hausdorff) dimension kan beregnes som forholdet mellem logaritmen af en stigning i "størrelsen" af et objekt og logaritmen af en stigning i dets lineære størrelse. Det vil sige, for segmentet D = log (2) / log (2) = 1, for planet D = log (4) / log (2) = 2, for volumen D = log (8) / log (2)) = 3.

Lad os nu beregne dimensionen af Koch-kurven, for hvis konstruktion enhedssegmentet er opdelt i tre lige store dele, og midterintervallet erstattes af en ligesidet trekant uden dette segment. Med en stigning i de lineære dimensioner af minimumssegmentet tre gange, øges længden af Koch-kurven i log (4) / log (3) ~ 1, 26. Det vil sige, at dimensionen af Koch-kurven er fraktioneret!

Videnskab og kunst

I 1982 udkom Mandelbrots bog "The Fractal Geometry of Nature", hvori forfatteren samlede og systematiserede næsten al den information, der dengang var til rådighed om fraktaler, og præsenterede den på en let og tilgængelig måde. I sit oplæg lagde Mandelbrot hovedvægten ikke på besværlige formler og matematiske konstruktioner, men på læsernes geometriske intuition. Takket være computergenererede illustrationer og historiske fortællinger, hvormed forfatteren dygtigt fortyndede den videnskabelige del af monografien, blev bogen en bestseller, og fraktaler blev kendt for den brede offentlighed.

Deres succes blandt ikke-matematikere skyldes i høj grad, at der ved hjælp af meget simple konstruktioner og formler, som en gymnasieelev kan forstå, opnås billeder af fantastisk kompleksitet og skønhed. Da personlige computere blev kraftige nok, dukkede endda en hel trend inden for kunst op - fraktalmaling, og næsten enhver computerejer kunne gøre det. Nu på internettet kan du nemt finde mange websteder dedikeret til dette emne.

Koch kurve
Koch kurve

Krig og fred

Som nævnt ovenfor er en af de naturlige objekter med fraktale egenskaber kystlinjen. En interessant historie er forbundet med ham, eller rettere, med et forsøg på at måle dens længde, som dannede grundlaget for Mandelbrots videnskabelige artikel, og som også er beskrevet i hans bog "The Fractal Geometry of Nature".

Dette er et eksperiment, der blev iscenesat af Lewis Richardson, en meget talentfuld og excentrisk matematiker, fysiker og meteorolog. En af retningerne for hans forskning var et forsøg på at finde en matematisk beskrivelse af årsagerne til og sandsynligheden for en væbnet konflikt mellem de to lande. Blandt de parametre, som han tog højde for, var længden af den fælles grænse for de to krigsførende lande. Da han indsamlede data til numeriske eksperimenter, fandt han ud af, at i forskellige kilder er dataene om den fælles grænse mellem Spanien og Portugal meget forskellige.

Dette fik ham til at opdage følgende: længden af et lands grænser afhænger af den lineal, vi måler dem med. Jo mindre skalaen er, jo længere er grænsen. Det skyldes, at det med en højere forstørrelse bliver muligt at tage højde for flere og flere kystsving, som tidligere blev ignoreret på grund af målingernes ruhed. Og hvis, med hver stigning i skalaen, åbner de tidligere ufortalte bøjninger af linjerne, så viser det sig, at længden af grænserne er uendelig! Sandt nok sker dette ikke i virkeligheden - nøjagtigheden af vores målinger har en begrænset grænse. Dette paradoks kaldes Richardson-effekten.

Fraktaler
Fraktaler

Konstruktive (geometriske) fraktaler

Algoritmen til at konstruere en konstruktiv fraktal i det generelle tilfælde er som følger. Først og fremmest har vi brug for to passende geometriske former, lad os kalde dem en base og et fragment. På den første fase er grundlaget for den fremtidige fraktal afbildet. Derefter erstattes nogle af dens dele med et fragment taget i passende skala - dette er den første iteration af konstruktionen. Derefter ændrer den resulterende figur igen nogle dele til figurer, der ligner et fragment osv. Hvis vi fortsætter denne proces i det uendelige, får vi i grænsen en fraktal.

Lad os overveje denne proces ved at bruge Koch-kurven som et eksempel. Som grundlag for Koch-kurven kan du tage en hvilken som helst kurve (for "Koch-snefnuget" er det en trekant). Men vi vil begrænse os til det enkleste tilfælde - et segment. Et fragment er en brudt linje vist øverst på figuren. Efter den første iteration af algoritmen, i dette tilfælde, vil det indledende segment falde sammen med fragmentet, derefter vil hvert af dets konstituerende segmenter blive erstattet af en stiplet linje, der ligner et fragment osv. Figuren viser de første fire trin af denne proces.

Fraktaler
Fraktaler

På matematikkens sprog: dynamiske (algebraiske) fraktaler

Fraktaler af denne type opstår i studiet af ikke-lineære dynamiske systemer (deraf navnet). Sådan et systems adfærd kan beskrives ved en kompleks ikke-lineær funktion (polynomium) f (z). Tag et eller andet udgangspunkt z0 på det komplekse plan (se sidebjælke). Overvej nu en sådan uendelig talrække på det komplekse plan, som hver af de følgende er opnået fra den foregående: z0, z1 = f (z0), z2 = f (z1), … zn + 1 = f (zn).

Afhængigt af startpunktet z0 kan en sådan sekvens opføre sig forskelligt: tendens til uendelig som n -> ∞; konvergere til et eller andet slutpunkt; cyklisk tage et antal faste værdier; mere komplekse muligheder er også mulige.

Komplekse tal

Et komplekst tal er et tal, der består af to dele - reelle og imaginære, det vil sige den formelle sum x + iy (her er x og y reelle tal). jeg er den såkaldte. imaginær enhed, det vil sige et tal, der opfylder ligningen i ^ 2 = -1. De grundlæggende matematiske operationer er defineret over komplekse tal - addition, multiplikation, division, subtraktion (kun sammenligningsoperationen er ikke defineret). For at vise komplekse tal bruges ofte en geometrisk repræsentation - på planet (det kaldes kompleks) lægges den reelle del på abscissen, og den imaginære del på ordinaten, mens det komplekse tal vil svare til et punkt med kartesisk koordinaterne x og y.

Ethvert punkt z i det komplekse plan har således sin egen karakter af adfærd under iterationer af funktionen f (z), og hele planet er opdelt i dele. I dette tilfælde har de punkter, der ligger på grænserne af disse dele, følgende egenskab: for en vilkårlig lille forskydning ændres arten af deres adfærd skarpt (sådanne punkter kaldes bifurkationspunkter). Så det viser sig, at sæt af punkter med en bestemt type adfærd, såvel som sæt af bifurkationspunkter, ofte har fraktale egenskaber. Dette er Julia-mængderne for funktionen f (z).

Familie af drager

widget-interesse
widget-interesse

Ved at variere basen og fragmentet kan du få et fantastisk udvalg af konstruktive fraktaler.

Desuden kan lignende operationer udføres i tredimensionelt rum. Eksempler på volumetriske fraktaler er Mengers svamp, Sierpinski-pyramiden og andre.

Dragefamilien omtales også som konstruktive fraktaler. Nogle gange kaldes de ved opdagernes navn "drager fra Highway-Harter" (i deres form ligner de kinesiske drager). Der er flere måder at plotte denne kurve på. Den enkleste og mest intuitive af dem er dette: du skal tage en tilstrækkelig lang strimmel papir (jo tyndere papiret er, jo bedre) og folde det på midten. Bøj den derefter to gange igen i samme retning som første gang.

Efter adskillige gentagelser (normalt efter fem eller seks fold, bliver strimlen for tyk til at kunne bøjes pænt yderligere), skal du løsne strimlen tilbage og prøve at danne 90˚ vinkler ved folderne. Så vil dragens kurve vise sig i profil. Selvfølgelig vil dette kun være en tilnærmelse, ligesom alle vores forsøg på at afbilde fraktale objekter. Computeren giver dig mulighed for at afbilde mange flere trin i denne proces, og resultatet er en meget smuk figur.

Mandelbrot-sættet er konstrueret på en lidt anderledes måde. Overvej funktionen fc (z) = z ^ 2 + c, hvor c er et komplekst tal. Lad os konstruere en sekvens af denne funktion med z0 = 0, afhængig af parameteren c, kan den divergere til uendeligt eller forblive begrænset. Desuden danner alle værdierne af c, for hvilke denne sekvens er afgrænset, Mandelbrot-sættet. Det blev undersøgt i detaljer af Mandelbrot selv og andre matematikere, som opdagede mange interessante egenskaber ved dette sæt.

Det ses, at definitionerne af Julia- og Mandelbrot-sættene ligner hinanden. Faktisk er disse to sæt tæt beslægtede. Mandelbrot-sættet er nemlig alle værdierne af den komplekse parameter c, som Julia-sættet fc (z) er forbundet til (et sæt kaldes forbundet, hvis det ikke kan opdeles i to usammenhængende dele, med nogle yderligere betingelser).

Fraktaler
Fraktaler

Fraktaler og liv

I dag er teorien om fraktaler meget udbredt inden for forskellige områder af menneskelig aktivitet. Udover et rent videnskabeligt objekt for forskning og det allerede nævnte fraktalmaleri, bruges fraktaler i informationsteorien til at komprimere grafiske data (her bruges hovedsageligt fraktalernes egenlighed - jo for at huske et lille fragment af en tegning og transformationer, hvormed du kan få resten af delene, kræves der meget mindre hukommelse end til at gemme hele filen).

Ved at tilføje tilfældige forstyrrelser til formlerne, der definerer fraktalen, kan man opnå stokastiske fraktaler, der meget plausibelt formidler nogle virkelige objekter - reliefelementer, overfladen af vandområder, nogle planter, som med succes bruges i fysik, geografi og computergrafik for at opnå større lighed mellem simulerede objekter og virkelige. I elektronik produceres der antenner, der har en fraktal form. De optager lidt plads og giver signalmodtagelse af ret høj kvalitet.

Økonomer bruger fraktaler til at beskrive valutakurskurver (en egenskab opdaget af Mandelbrot). Dette afslutter denne lille udflugt til fraktalernes utroligt smukke og mangfoldige verden.

Anbefalede: