Civilisationens aritmetiske gåder

2024 Forfatter: Seth Attwood | [email protected]. Sidst ændret: 2023-12-16 16:01

I de seneste årtier har der været en voksende strøm af undersøgelser, der sår tvivl om pålideligheden af mange udsagn fra historisk videnskab. Bag dens ganske anstændige facade er der et mørke af fantasier, fabler og simpelthen direkte forfalskninger. Det gælder også matematikkens historie.

Overvej nøje og partisk figurerne af Pacioli og Archimedes, Luke og Leonardo, romertal og den egyptiske trekant 3-4-5, Ars Metric og Rechenhaftigkeit og meget, meget mere …

Hvornår lærte folk at tælle?

Vi kan roligt sige, at dette skete med deres fjerne forfædre, længe før de blev homo sapiens. Aritmetik trænger ind i alle aspekter af livet, også dyr. Det blev f.eks. konstateret en krage kan tælle til otte. Hvis en krage har syv unger, og en er fjernet, vil hun straks begynde at lede efter de savnede og tælle sit afkom. Og efter otte mærker hun ikke tabet. For hende er dette en form for uendelighed. Det vil sige, at hvert væsen har en form for numerisk grænse.

Det findes også blandt folk, der ikke kan matematik. Dette blev afspejlet på forskellige sprog, især på russisk.

For kun seks til syv århundreder siden var tropperne fra de mest formidable og sejrrige asiatiske erobrere klart opdelt i divisioner kun op til tusind mennesker … De blev ledet af befalingsmænd, der blev kaldt formænd, centurioner og tusinder. Større militære enheder blev kaldt "mørke", og de blev ledet af "temniki". Med andre ord blev de betegnet med et ord, der betyder "så mange, at det er umuligt at tælle." Derfor, når vi møder et stort antal i Det Gamle Testamente eller i de "gamle" krøniker, for eksempel 600 tusind mænd, som Moses bragte ud af Egypten, er dette et tydeligt tegn på, at tallet dukkede op, efter historisk målestok, for ganske nylig.

Den virkelige videnskab om matematik begyndte et sted i det 17. århundrede. Dens grundlægger var Francis Bacon, engelsk filosof, historiker, politiker, empiriker (1561-1626). Han introducerede det, der kaldes erfaringsbaseret viden. Videnskab adskiller sig fra skolastik ved, at enhver udtalelse, enhver viden er genstand for verifikation og reproduktion. Før Bacon var videnskaben spekulativ, på niveau med nogle logiske konstruktioner, gæt, hypoteser og teorier blev udtrykt, men de blev aldrig testet. Så fysik og kemi som videnskaber indtil 1600-tallet eksisterede ikke i moderne forstand … Den samme Galileo Galilei (1564-1642), grundlæggeren af eksperimentel fysik, klatrede op på det skæve tårn i Pisa og kastede sten derfra, og først da fandt han ud af, at Aristoteles tog fejl, da han sagde, at kroppe bevæger sig i en lige linje og jævnt. Det viste sig, at stenene bevæger sig med acceleration.

Aristoteles hævdede det ikke fordi han var doven til at tjekke, men fordi selv de simpleste eksperimentelle videnskabelige metoder endnu ikke var blevet født. Vi understreger igen: ingen verifikation - ingen pålidelig viden.

Et eksempel, ikke kendt af alle. Det første værk om fysik i Kina blev offentliggjort i 1920. Kineserne forklarer dette med, at de i århundreder undlod det, fordi de blev styret af Konfucius' lære (556-479 f. Kr.). Og han satte sig ned og overvejede og trak alt, ligesom Aristoteles, op fra luften. At tjekke Confucius er bare spild af tid, mener kineserne. Dette er meget mistænkeligt i lyset af påstande om, at de var de første til at opfinde papir, krudt, kompas og en masse andre opfindelser. Hvor kom alt dette fra, hvis de ikke havde nogen videnskab?

Således viser de allerførste forsøg på at tro, hvornår og hvordan visse videnskabelige, herunder matematiske resultater dukkede op, at der er mange myter i videnskabens historieisær når det kommer til tid før opfindelsen af trykkeriet, som gjorde det muligt at konsolidere visse studiers historie på papir. En af disse fabler, der vandrer fra bog til bog, er myten om den egyptiske trekant, det vil sige en retvinklet trekant med sider svarende til 3:4:5. Alle ved, at dette er en myte, men det gentages stædigt af forskellige forfattere. Han taler om et reb med 12 knob. En trekant foldes fra et sådant reb: tre knob i bunden, 4 på siden og fem knob på hypotenusen.

Hvorfor er sådan en trekant så vidunderlig? Det faktum, at det opfylder kravene i Pythagoras sætning, det vil sige:

3.2 + 4.2 = 5.2

Hvis dette er tilfældet, så er vinklen ved bunden mellem benene rigtig. Uden at have andre værktøjer, hverken firkanter eller linealer, kan du således afbilde en ret vinkel ret præcist.

Det mest fantastiske er, at i ingen kilde, i ingen undersøgelse er der nogen omtale af den egyptiske trekant. Det blev opfundet af popularisatorerne i det 19. århundrede, som forsynede oldtidens historie med nogle fakta om det matematiske liv. I mellemtiden var der kun to manuskripter tilbage fra det gamle Egypten, hvori der i det mindste er en form for matematik. Dette er Ahmes Papyrus, en studievejledning til aritmetik og geometri fra Mellemrigets periode. Den kaldes også Rind-papyrusen ved navnet på dens første ejer (1858) og Moskvas metematiske papyrus, eller papyrusen af V. Golenishchev, en af grundlæggerne af russisk egyptologi.

Et andet eksempel - "Occams barbermaskine", et metodologisk princip opkaldt efter den engelske munk og nominalfilosof William Ockham (1285-1349). I en forenklet form lyder det: "Man skal ikke formere tingene unødigt." Det menes, at Occamah lagde grundlaget for princippet om moderne videnskab: det er umuligt at forklare nogle nye fænomener ved at introducere nye entiteter, hvis de kan forklares ved hjælp af det, der allerede er kendt … Dette er logisk. Men Occam har intet at gøre med dette princip. Dette princip blev tillagt ham. Ikke desto mindre er myten meget vedholdende. Det bruges i alle filosofiske encyklopædier.

En anden fabel - om det gyldne snit- opdeling af en kontinuerlig mængde i to dele i et sådant forhold, hvor den mindre del vedrører den større, da den største vedrører hele mængden. Denne andel er til stede i den femtakkede stjerne. Hvis du skriver det i en cirkel, så kaldes det et pentagram. Og det betragtes som et djævelsk tegn, et symbol på Satan. Eller tegnet af Baphomet. Men ingen siger det udtrykket "gyldne snit" blev opfundet i 1885af den tyske matematiker Adolph Zeising og blev først brugt af den amerikanske matematiker Mark Barr, og ikke af Leonardo da Vinci, som man siger overalt. Dette, som de siger, er en "klassiker af genren", et klassisk eksempel på at beskrive fortiden i moderne begreber, da et irrationelt algebraisk tal bruges her, en positiv løsning på en andengradsligning - x.2 –x-1 = 0

Der var ingen irrationelle tal hverken i Euklids æra eller i da Vincis og Newtons æra

Var der et gyldent snit før? Sikkert. Men hun kaldet divina, det vil sige guddommelig proportion eller djævelsk, ifølge andre. Alle troldmænd fra renæssancen blev kaldt djævle. Der var ikke tale om noget gyldent snit som udtryk.

En anden myte er Fibonacci-tal … Vi taler om en række tal, hvor hvert led er summen af de to foregående. Det er kendt som Fibonacci-serien, og selve tallene er Fibonacci-numre, efter navnet på den middelalderlige matematiker, der skabte dem (1170-1250).

Men det viser sig, at den store Johannes Kepler, den tyske matematiker, astronom, optiker og astrolog, aldrig nævner disse tal. Det fuldstændige indtryk af, at ikke en eneste matematiker fra det 17. århundrede ved, hvad det er, på trods af at Fibonaccis værk "The Book of Abacus" (1202) blev anset for meget populær i middelalderen og i renæssancen og var det vigtigste for alle matematikere fra den tid … Hvad er der galt?

Der er en meget simpel forklaring. I slutningen af det 19. århundrede, i 1886, udkom Edouard Lucs vidunderlige 4-binds bog "Entertaining Mathematics" for skolebørn i Frankrig. Der er mange glimrende eksempler og problemer i det, især det berømte puslespil om en ulv, en ged og en kål, som skal transporteres over floden, men så ingen spiser nogen. Det blev opfundet af Luca. Han opfandt også Fibonacci-tallene. Han er en af skaberne af moderne matematiske myter, der er blevet meget solidt etableret i omløb. Lukas mytedannelse blev videreført i Rusland af popularisatoren Yakov Perelman, som udgav en hel række af sådanne bøger om matematik, fysik osv. Faktisk er disse gratis og til tider bogstavelige oversættelser af Lukas bøger.

Det skal siges, at der ikke er mulighed for at kontrollere oldtidens matematiske beregninger. Arabiske tal, (det traditionelle navn for et sæt på ti tegn: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; bruges nu i de fleste lande til at skrive tal i decimalnotation), dukke op meget sent, ved skiftet af 15-16 århundreder. Før det var der såkaldte Romertal, der ikke kan bruges til at beregne noget.

Her er nogle eksempler. Tallene blev skrevet således:

888- DCCCLXXXV111, 3999-MMMCMXCIX

Etc.

Med en sådan registrering kan der ikke foretages beregninger. De blev aldrig produceret. Men i det gamle Rom, som ifølge moderne historie eksisterede i halvandet tusind år, cirkulerede enorme mængder penge. Hvordan blev de talt? Der var intet banksystem, ingen kvitteringer, ingen tekster relateret til matematiske beregninger eksisterer. Hverken fra det gamle Rom eller fra den tidlige middelalder. Og det er klart hvorfor: der var ingen måde at skrive matematisk på.

Som et eksempel vil jeg give, hvordan tallene blev skrevet i Byzans. Opdagelsen tilhører ifølge legenden Raphael Bombelli, en italiensk matematiker og hydraulikingeniør. Hans rigtige navn er Matsolli (1526-1572). En gang gik han til biblioteket, fandt en matematisk bog med disse noter og udgav den straks. Forresten skrev Fermat sit berømte teorem på dets marginer, da han ikke kunne finde et andet papir. Men dette er i øvrigt.

Så skrivningen af ligningen ser sådan ud, (Der er ingen tilsvarende ikoner på cybord, så jeg skrev det ned på et separat stykke papir)

Denne metode til matematisk notation kan ikke bruges i beregninger.

I Rusland blev den første bog, hvori der var en form for matematik, først udgivet i 1629. Den blev kaldt "The Book of Soshny Letter" og var viet til, hvordan man måler og beskriver jordbesiddelser i byer og landdistrikter (herunder jord og industrier) med henblik på statsbeskatning (konventionel skatteenhed - pløjeDet vil sige ikke kun for skatteembedsmænd, men også for landinspektører.

Og hvad viser sig? Begrebet en ret vinkel eksisterede ikke endnu … Det var niveauet for videnskab.

Endnu en misforståelse. Den store Pythagoras opfandt sit teorem. Denne udtalelse er baseret på oplysningerne fra Apollodorus lommeregneren (personen er ikke identificeret) og på poesilinjerne (kilden til versene er ikke kendt):

Han oprejste et herligt offer for ham ved tyre."

Men han studerede slet ikke geometri. Han studerede okkulte videnskaber. Han havde en mystisk skole, hvor der især blev tillagt okkult betydning til tal. De to blev betragtet som kvindelige, de tre var mandlige, tallet fem betød "familie". Enheden blev ikke betragtet som et nummer. Det blev forsvaret af den hollandske matematiker Simon Stevin (1548-1620) Han skrev bogen "Den tiende" og i den beviste han, at et er et tal, og introducerede begrebet decimalbrøker.

Hvad var tallene?

Vi opdager Euklid (ca. 300 f. Kr.), hans essay om grundlaget for matematik "Begyndelser". Og det finder vi matematik blev dengang kaldt "ARS METRIC" - "Kunsten at måle". Der al matematik er reduceret til at måle segmenter, primtal bruges, der er ingen mulighed for division, multiplikation … Der var ingen midler til at udføre dem. Der er ikke et eneste værk fra den æra, hvor der ville være beregninger. Tæl på tællebrættet abacus.

Men hvordan blev broer, paladser, slotte, klokketårne beregnet? Ingen måde. Alle de vigtigste strukturer, som vi kender, dukkede op efter det 17. århundrede.

Som bekendt blev Sankt Petersborg i Rusland grundlagt i 1703. Kun tre bygninger har overlevet siden da. Under Peter 1 blev der ikke opført stenbygninger, hovedsagelig mudderhytter lavet af ler og halm. Peter udstedte et dekret, som specifikt talte om hytterne. Stenbygninger blev faktisk kun bygget i Catherine II's æra. Hvorfor tog det russiske folk til Europa efter ordre fra zaren? At lære befæstning, konstruktion, evnen til at lave matematiske beregninger af bygninger og konstruktioner.

Vi har for nylig udført beregninger for Paris. Alle større bygninger blev bygget i det 18. og 19. århundrede. En af de første stenbygninger i denne by er Saint Chapel - Saint Chanel. Man kan ikke se på det uden tårer: skæve vægge, skæve sten, ingen rette vinkler, en hulestruktur, den ældste i Paris fra det 13. århundrede. Versailles blev bygget i det 18. århundrede. Så var der på stedet for Champs Elysees en gedesump.

Tag Kölnerdomen, som begyndte at blive bygget i middelalderen. Det blev færdigt i det 20. århundrede! Det blev afsluttet ved hjælp af moderne metoder. Den samme historie med Sacre Coeur, Basilica of the Sacred Heart. Denne katedral blev angiveligt stærkt beskadiget under den store franske revolution: statuer, farvede glasruder og så videre blev smadret. Alt er genoprettet men dette blev gjort i det 19. og endda i det 20. århundrede. Alle franske antikke bygninger er blevet restaureret ved hjælp af moderne metoder. OG vi ser ikke de bygninger, der var engang, men dem, der ser ud, som moderne restauratører forestiller sig.

Det samme gælder for Peter og Paul fæstningen I Petersborg. Den er lavet af glas og beton og ser meget flot ud. Og går man indenfor, er der rum, der har været bevaret siden Peter 1's tid. Frygteligt elendige rum, med vægge lavet af brosten, fastgjort med ler og halm, er praktisk talt uformelige. Og dette er det 18. århundrede.

Historien om forbønskatedralen i Kreml i Moskva, også kaldet St. Basil's Cathedral, er velkendt. Den kollapsede under byggeriet, da der ikke var nogen beregninger og metoder til denne beregning. Dette afspejles i de skriftlige kilder. Derfor blev italienske bygherrer inviteret, og de begyndte at bygge både Kreml og alle de andre bygninger. Og de byggede én til én i stil med italienske katedraler og paladser. Italienerne havde noget, der gjorde en revolution ikke kun i byggeriet, men i hele civilisationen. De var dygtige til matematiske beregningsmetoder.

Aritmetik antyder klart, at uden viden om disse metoder vil der ikke blive bygget noget værd. Broer er komplekse tekniske strukturer, utænkelige uden foreløbige beregninger. Og indtil sådanne matematiske beregninger blev udviklet, var der ingen stenbroer i Europa. Der var træ, vand-type pontoner. 1. stenbro i Europa - Karlsbroen i Prag. Enten det 14. eller det 15. århundrede. Den faldt fra hinanden mere end én gang, fordi stenen har en udløbsdato, og fordi beregningerne blev forbedret. Den første og sidste stenbro i Moskva blev bygget i midten af det 19. århundrede. Den stod i 50 år og faldt fra hinanden af samme årsager.

Født, matematik gav anledning til ikke kun moderne videnskab. Opfindelsen af arabiske tal og positionsnummereringssystemet, positionsnummerering, når værdien af hvert numerisk tegn (ciffer) i talregistreringen afhænger af dets position (ciffer), gjorde det muligt at udføre beregninger, som vi stadig gør i dag: addition - subtraktion, multiplikation - division. Systemet blev meget hurtigt overtaget af købmænd, og resultatet var en stigning i det finansielle system. Og når vi får at vide, at dette system blev opfundet af tempelridderne i det 13. århundrede, er det ikke sandt. Fordi der ikke var sådanne måder at håndtere det på.

Men matematik fødte meget mere, som det altid sker med menneskehedens største bedrifter. Hun gjorde det 16. århundrede til en mørk og uhyggelig æra. Storhedstid for obskurantisme, hekseri, heksejagt. I 1492 - etableringen af inkvisitionen i Spanien, i 1555 - etableringen af inkvisitionen i Rom. I mellemtiden forsøger historikere at overbevise os om, at inkvisitionen er et produkt fra de 13-15 århundreder. Intet som dette. Hvorfor opstod alt dette? Hvordan startede det? Med en mani til at beregne alt. De talte endda, hvor mange djævle der passede på enden af nålen. Og hekse blev bestemt efter vægt: Hvis en kvinde vejede mindre end 48 kg, blev hun betragtet som en heks, da hun ifølge inkvisitorerne kunne flyve. Dette er det 16. århundrede. Der dukkede endda udtrykket "beregnings-Reckenhaftigheit op."

Som en kuriosum er det værd at bemærke, at det århundrede gav os noget andet. For eksempel ordene "Computer, printer, scanner" … Computere blev kaldt dem, der var engageret i beregninger, det vil sige lommeregnere. En printer er en person, der har travlt med bogtryk, og en scanner er en korrekturlæser. Disse betydninger er gået tabt, og ord er genoplivet i vor tid med nye betydninger.

Samtidigt, i 1532 vises videnskabelig kronologi … Og dette er naturligt: mens der ikke var nogen måder at tælle på, var der ingen kronologiske beregninger. Samtidig begynder astrologien at udvikle sig, også baseret på beregninger.… Det er nødvendigt at nævne og numerologi … De begynder at se magi i tal. I numerologi tildeles visse egenskaber, begreber og billeder til hvert enkeltcifret tal. Numerologi blev brugt i analysen af en persons personlighed til at bestemme karakter, naturlige gaver, styrker og svagheder, forudsige fremtiden, vælge det bedste sted at bo, bestemme det mest passende tidspunkt for at træffe beslutninger og til handling. Nogle med hendes hjælp valgte partnere til sig selv - i erhvervslivet, ægteskab. En af de største numerologer var Jean Boden (1529-1594), politiker, filosof, økonom. Vises og Joseph Just Scaliger (1540-1609), filolog, historiker, en af grundlæggerne af moderne historisk kronologi. Sammen med teologen og munken Dionysius Petavius de beregnede med tilbagevirkende kraft en række historiske datoer i tidligere historie og digitaliserede de fakta og begivenheder, som var kendt for dem.

Eksemplet med Rusland viser, hvor svært og vanskeligt det var at indføre aritmetisering i samfundets bevidsthed.

1703 kan betragtes som året for begyndelsen af denne proces i landet. Så blev Leonty Magnitskys bog "Aritmetik" udgivet. Selve forfatterens skikkelse er fiktiv. Dette er blot en oversættelse af vestlige manualer. På grundlag af denne lærebog organiserede Peter den Store skoler for søofficerer og navigatører.

Et af bogens sommerhuse - opgave nummer 33 - bruges stadig i dag på nogle uddannelsesinstitutioner.

Det lyder sådan:”De spurgte en vis lærer, hvor mange elever han havde, eftersom de ville give ham hans søn som lærer. Læreren svarede: "Hvis så mange disciple kommer til mig, som jeg har, og halvt så mange og en fjerdedel så mange, og din søn, så vil jeg have hundrede disciple." Hvor mange elever havde han?"

Nu er dette problem løst ganske enkelt: x + x + 1 / 2x + 1 / 4x + 1 = 100.

Magnitsky skriver ikke noget lignende, for tilbage i det 18. århundrede blev 1/2 og ¼ ikke opfattet som tal. Han løser problemet i fire trin og forsøger at gætte svaret i henhold til den såkaldte "falske regel".

Al matematik i Europa var på dette niveau. Bogen "Matematisk opfindsomhed" af B. Kordemsky siger, at den matematiske bog af Leonardo af Pisa blev udbredt og i mere end to århundreder var den mest autoritative kilde til viden inden for tal (13-16 århundreder). Og historien er givet om, hvordan Fibonaccis høje ry bragte kejseren af det romerske imperium Frederik II til Pisa i 1225 med en gruppe matematikere, der offentligt ville teste Leonardo. Han fik opgaven: "Find den mest komplette firkant, der forbliver en komplet firkant efter at have øget den eller formindsket den med fem."

A / 2 + 5 = B / 2, A / 2 - 5 = C / 2

Dette er en meget vanskelig opgave, men Leonardo løste den angiveligt på få sekunder.

Tilbage i 1700-tallet vidste de ikke, hvordan de skulle arbejde med ½ plus ¼, men Leponardo og publikum arbejder fantastisk med dem. Men brøker som tal blev først genkendt i slutningen af det 18. århundrede.

Først da gjorde Joseph Louis Lagrange det. Hvad er der galt? Frederik II og hele historien blev opfundet af den samme Luke i hans bog "Entertaining Mathematics".

Euklid er krediteret med opdagelser i matematik gjort mange århundreder senere. For eksempel, kvadrere trekanten.

Men i det 16. århundrede skrev den ungarske ingeniør og arkitekt Johann Certe til den store Albrecht Durer:”Jeg sender dig en sætning om en trekant med tre ulige vinkler. Jeg fandt en vidunderlig løsning … Men at lave en firkant af det samme område ud af en trekant er en kunst. Det forstår jeg vist godt."

Dette betyder, at Cherte i det 16. århundrede opfandt kvadraturen af en trekant, som det ser ud til, blev løst af Euclid for mange århundreder siden, og alle, det ser ud til, ved, hvordan man leder efter arealet af en trekant.

Det hele bunder i, hvad 1500-tallets matematikere gjorde under ældgamle navne. Der var såkaldte Euklid-kommentatorer, og de siges nu at have perfektioneret ham. Faktisk arbejdede de under navnet Euclid, under navnet på varemærket. Og dette er ikke det eneste tilfælde.

Tilbage i det 18. århundrede blev en vis græsk Pelamed erklæret altings opfinder. Han opfandt tal, skak, dam, terninger og mange andre ting. Det var først i slutningen af det 19. århundrede, at man troede, at skak blev opfundet i Indien.

Nogle værker, der nød autoritet og popularitet i oldtiden og ikke overlevede eller kom ned i form af separate fragmenter, tiltrak sig forfalskernes opmærksomhed på grund af forfatterens efternavn eller de emner, der er beskrevet i dem. Nogle gange handlede det om en hel række sekventielle forfalskninger af enhver sammensætning, der ikke altid var tydeligt forbundet med hinanden. Et eksempel er Ciceros forskellige skrifter, hvis mange forfalskninger gav anledning til heftige debatter i England i slutningen af det 17. og begyndelsen af det 18. århundrede om selve muligheden for at forfalske de primære kilder til reel historisk viden. Ovids skrifter i den tidlige middelalder blev brugt til at inkludere de mirakuløse historier, de indeholdt i biografierne om kristne helgener. I det 13. århundrede blev et helt værk tilskrevet Ovid selv. Den tyske humanist Prolucius i det 16. århundrede tilføjede et syvende kapitel til Ovids "Kalender". Målet var at bevise over for modstanderne, at i modsætning til digterens vidnesbyrd, indeholdt dette hans værk ikke seks, men syv kapitler.

De fleste af de pågældende forfalskninger var en slags afspejling af det særlige ved ikke blot den politiske kamp, men også den fremherskende atmosfære af fupboomet. Et sådant eksempel giver i hvert fald mulighed for at bedømme dens skala. Ifølge forskere blev mere end 12.000 manuskripter, breve og autografer af kendte personer solgt i Frankrig mellem 1822 og 1835, 11.000 blev sat til salg på auktion i 1836-1840, omkring 15.000 i 1841-1840, og 48.000 i 18805 og 6-129. Nogle af dem blev stjålet fra offentlige og private biblioteker og samlinger, men hovedparten var forfalskninger. En stigning i efterspørgslen gav anledning til en stigning i udbuddet, og produktionen af forfalskninger var forud for forbedringen af metoderne til at opdage dem på dette tidspunkt. Naturvidenskabernes succeser, især kemien, som gjorde det muligt især at bestemme alderen på det pågældende dokument, blev nye, endnu ufuldkomne metoder til at afsløre fup, brugt snarere som en undtagelse.

Så snart nye metoder dukker op, dukker nye udfordringer op. Der er en slags løb i gang. Som allerede nævnt begyndte de at beregne alt, op til planetens størrelse. Columbus anså Jorden for at være tre gange mindre, end den i virkeligheden er. Et fantastisk faktum. Trods alt mente man, at den græske matematiker og astronom Erastophenes fra Cyrene (276-194 f. Kr.) nøjagtigt beregnede planetens diameter. Hvorfor vidste Columbus ikke dette? Fordi Erastofen var en del af 1500-tallets projekt. Det var de mennesker, der tog de gamle navne.

En af de største filosoffer i det tyvende århundrede O. Spengler fremsatte tesen om, at græsk og moderne matematik ikke har noget til fælles, at de i bund og grund er to forskellige matematikere, forskellige måder at tænke på. Det er forskellen i måden at tænke på, der afsløres ved overgangen til det 16. og 17. århundrede.

For at forstå betydningen af ændringer i videnskaben, livet, i den menneskelige bevidsthed genereret af moderne matematik, hjælper K. Marx' karakterisering af teknologier som et generelt socialt fænomen:”Teknologi afslører menneskets aktive forhold til naturen - den direkte proces med produktion af hans liv, og samtidig hans sociale livsbetingelser og de spirituelle ideer, der udspringer af dem." Næsten hundrede år senere definerer en af klassikerne inden for civilisationsmetodologi, A. J. Toynbee, teknologi som en "pose med værktøjer."

Matematik blev årsagen til den hidtil usete forbedring af disse "værktøjer" og ændrede civilisationens kurs.